Ejercicios Resueltos | Analisis Inverso
La regularización amortigua las oscilaciones causadas por el ruido. El parámetro ( \lambda ) se elige mediante curva L o validación cruzada. Enunciado: La velocidad de una reacción química sigue el modelo de Michaelis-Menten: [ v = \fracV_max \cdot [S]K_m + [S] ] Se miden velocidades ( v ) para distintas concentraciones de sustrato ( [S] ): [ [S] = [0.5, 1.0, 2.0, 5.0], \quad v = [0.25, 0.33, 0.40, 0.45] ] Estime ( V_max ) y ( K_m ) usando el método de Gauss-Newton.
La descomposición ( \mathbfA = \mathbfU \mathbf\Sigma \mathbfV^T ) da valores singulares ( \sigma_1 \approx 2.00005, \sigma_2 \approx 0.00005 ). El número de condición ( \kappa = \sigma_1/\sigma_2 \approx 40000 ). La inversa amplifica el ruido en la dirección del menor valor singular.
En análisis inverso, siempre calcular el número de condición. Si es alto, se necesita regularización. 4. Ejercicio 3: Regularización de Tikhonov Enunciado: Un experimento entrega el sistema mal condicionado: [ \beginpmatrix 1 & 1 \ 1 & 1.01 \endpmatrix \mathbfx = \beginpmatrix 2 \ 2.01 \endpmatrix ] Pero las mediciones tienen ruido. La solución por mínimos cuadrados da ( \mathbfx = (1, 1)^T ) exacto. Si añadimos ruido ( \mathbfb = (2, 2.02)^T ), la solución se vuelve ( \mathbfx = (0, 2)^T ). Aplique regularización de Tikhonov con ( \lambda = 0.1 ) para estabilizar. analisis inverso ejercicios resueltos
El modelo directo: ( F_i = k x_i ). En forma matricial: ( \mathbfF = \mathbfA k ), con ( \mathbfA = [1, 2, 3, 4]^T ).
Minimizar ( | \mathbfA\mathbfx - \mathbfb |^2 + \lambda | \mathbfx |^2 ). La solución: [ \mathbfx_\lambda = (\mathbfA^T \mathbfA + \lambda \mathbfI)^-1 \mathbfA^T \mathbfb ] [ \mathbfA^T \mathbfA = \beginpmatrix 2 & 2.01 \ 2.01 & 2.0201 \endpmatrix ] [ \mathbfA^T \mathbfA + 0.1\mathbfI = \beginpmatrix 2.1 & 2.01 \ 2.01 & 2.1201 \endpmatrix ] Invertimos (numéricamente) y multiplicamos por ( \mathbfA^T \mathbfb = \beginpmatrix 4.02 \ 4.0602 \endpmatrix ). Resultado aproximado: ( \mathbfx \approx (0.95, 1.05) ). En análisis inverso, siempre calcular el número de
El sistema exacto da ( x_1 = 1, x_2 = 1 ). Con ( b_2 ) modificado a 2.0002, resolvemos: [ x_1 + x_2 = 2 ] [ x_1 + 1.0001 x_2 = 2.0002 \Rightarrow x_2 = 2, x_1 = 0 ] La solución pasó de (1,1) a (0,2) con un cambio de (10^-4) en los datos. ¡El problema está muy mal condicionado!
El estimador de mínimos cuadrados minimiza ( | \mathbfF - \mathbfA k |^2 ). La solución normal: [ k = (\mathbfA^T \mathbfA)^-1 \mathbfA^T \mathbfF ] [ \mathbfA^T \mathbfA = 1^2+2^2+3^2+4^2 = 30 ] [ \mathbfA^T \mathbfF = 1\cdot2.1 + 2\cdot4.0 + 3\cdot6.2 + 4\cdot7.9 = 2.1+8.0+18.6+31.6 = 60.3 ] [ k = \frac60.330 = 2.01 \ \textN/m ] 1) a (0
1. Introducción al Problema Inverso En ciencias e ingeniería, normalmente estamos acostumbrados al problema directo : conocemos las causas (parámetros, condiciones iniciales, propiedades de un material) y queremos predecir los efectos (respuesta, desplazamientos, temperaturas). Sin embargo, existe una familia de problemas más complejos y fascinantes: los problemas inversos .
